La Matemática Detrás de la Amortización Francesa

La amortización francesa se rige por una fórmula elegante. Dado un monto de préstamo L, una tasa anual efectiva TAE y un número de pagos n, el pago fijo P es:

P = L × r / (1 − (1 + r)−n)

donde r es la tasa periódica: la TAE expresada por intervalo de pago. Para pagos mensuales sobre un préstamo con 12 pagos por año:

r = (1 + TAE)1/12 − 1

Esta conversión de tasa anual a periódica es lo que hace que la TAE sea la tasa correcta para usar en la fórmula — no la TIN nominal, ni una tasa simple dividida por el número de pagos.

Entendiendo la fórmula de anualidad

La fórmula puede parecer intimidante, pero tiene una interpretación intuitiva. El numerador L × r representa los intereses que pagarías en el primer período si no se repagara capital. El denominador (1 − (1 + r)⁻ⁿ) es un factor de escala que distribuye este costo entre todos los pagos asegurando que el préstamo se repague completamente al final.

A medida que el número de pagos n aumenta, el denominador se aproxima a 1, lo que significa que el pago se acerca a la cantidad de interés puro. Por esto los préstamos extremadamente largos tienen cuotas mensuales bajas pero pagan intereses totales enormes. Por el contrario, a medida que n disminuye, el denominador se reduce, aumentando el pago pero reduciendo los intereses totales.

Cómo se divide cada pago

Una vez que se conoce P, el calendario de amortización surge naturalmente. Para la cuota q (donde q = 1 para el primer pago):

intereses_q = saldo_q-1 × r
capital_q = P − intereses_q
saldo_q = saldo_q-1 − capital_q

Porque el saldo disminuye con cada pago, la porción de intereses intereses_q se reduce con el tiempo, mientras que la porción de capital capital_q crece. El pago P se mantiene constante.

Esta es la característica definitoria de la amortización francesa: pagos totales constantes, intereses decrecientes y reducción acelerada del capital.

Ejemplo práctico: paso a paso

Trabajemos con un ejemplo concreto. Supongamos que pedís un préstamo de 200.000 € al 6% TAE durante 30 años con pagos mensuales.

Paso 1: Convertir TAE a tasa periódica

r = (1 + 0,06)1/12 − 1 ≈ 0,004868

Paso 2: Calcular pagos totales

n = 30 × 12 = 360 pagos

Paso 3: Aplicar la fórmula

P = 200.000 × 0,004868 / (1 − (1 + 0,004868)−360)
P ≈ 1.198,40 € por mes

Paso 4: Desglose del primer pago

intereses_1 = 200.000 × 0,004868 ≈ 973,60 €
capital_1 = 1.198,40 − 973,60 = 224,80 €

A lo largo de la vida del préstamo, pagás aproximadamente 231.424 € en intereses además de los 200.000 € de capital.

Resolviendo la TAE a partir de un pago

La fórmula anterior funciona hacia adelante desde (L, TAE, n) para encontrar P. La calculadora también opera en sentido inverso: si conocés L, P y n, puede resolver la TAE implícita.

Esto requiere un resolutor numérico (búsqueda binaria en este caso), ya que la TAE aparece en ambos lados de la ecuación a través de la tasa periódica. El resolutor comienza con un rango de búsqueda amplio y bisecta repetidamente hasta converger en la TAE que produce el pago dado.

¿Por qué TAE y no TIN?

El TIN (Tipo de Interés Nominal) es una tasa nominal — no tiene en cuenta la capitalización dentro del año. Si un préstamo dice "12% TIN" con pagos mensuales, la tasa real que pagás es superior al 12%.

La TAE (Tasa Anual Equivalente) sí tiene en cuenta la capitalización. La relación entre TIN y TAE para m pagos por año es:

TAE = (1 + TIN/m)m − 1

Para 12 pagos por año al 12% TIN: TAE = (1 + 0,12/12)¹² − 1 ≈ 12,68%. Esto es lo que usa la calculadora, y por qué produce calendarios precisos incluso para estructuras de pago de alta frecuencia.

Usar el TIN directamente en la fórmula de anualidad subestimaría sistemáticamente tus pagos y produciría un calendario imposible donde el préstamo nunca se repaga completamente.

Más allá de mensual: otras frecuencias de pago

La fórmula funciona para cualquier frecuencia de pago. Para pagos trimestrales (4 por año), la conversión de tasa periódica se convierte en:

r = (1 + TAE)1/4 − 1

Para pagos quincenales (26 por año):

r = (1 + TAE)1/26 − 1

Los pagos más frecuentes reducen la tasa periódica, lo que disminuye ligeramente los intereses totales porque el capital se repaga antes. Sin embargo, el efecto es modesto comparado con elegir un plazo de préstamo más corto.

Errores comunes de cálculo

• Usar TIN como TAE: Esto produce pagos demasiado bajos y un calendario que nunca se amortiza completamente.
• División simple para tasa periódica: Dividir el TIN por 12 ignora la capitalización y produce resultados ligeramente incorrectos.
• Ignorar el ajuste del último pago: Sin ajustar el pago final por errores de redondeo, el calendario puede mostrar un saldo remanente o sobrepago.
• Conteo erróneo de pagos: Para un préstamo a 30 años con pagos mensuales, n = 360, no 30.

Ajuste del último pago

Debido a errores de redondeo y la aritmética de coma flotante, el último pago de un calendario francés generalmente se ajusta ligeramente para asegurar que el saldo llegue a exactamente cero. La calculadora maneja esto verificando si el último pago produciría un saldo negativo y ajustándolo al saldo restante más los intereses devengados.